4. Linear Independence [ Chap 1.5 ]

집합 \(S\)의 linearly dependent(선형종속)한 관계는 다음과 같이 정의한다. 

 

\(\mathbf{Definition.}\) A subset \(S\) of a vector space \(V\) is linearly dependent over F
     if ∃ distinct vectors \(u_1, u_2, \cdots , u_n \in S, \) and scalars \(a_1, a_2, \cdots , a_n \in F \) not all zeros, such that
$$ a_1 u_1 + a_2u_2 +  \cdots + a_n u_n = 0.$$

 

즉, linear combination이 영벡터가 되는 자명하지 않은 해가 존재하면 linearly dependent하다는 것이다.

 

 

\(\mathbf{Definition.}\) A subset \(S\) of a vector space that is not linearly dependent is called linearly independent. We also say that the vectors of \(S\) are linearly independent.
$$ \mathrm{i.e.} \ \ \sum_{i=1}^n a_iu_i = 0, \quad u_i \in S: \mathrm{distinct}, a_i \in F \ \Rightarrow \ s_i = 0 \ \ \forall i $$

 

 

다음은 linearly independence에 관한 간단한 사실들이다.

1. \(\emptyset\) is linearly independent.
2. \(\left\{ 0 \right\}\) is linearly dependent.
3. \(\left\{ u \right\} \left( u≠0\right) \) is linearly independent.

pf 3) \(\left\{ u \right\} \) 이 linearly dependent 하다고 가정. 그러면 0이 아닌 scalar \(a\)에 대해 \(au = 0\). 그러므로 $$ u = a^{-1}\left(au\right) = a^{-1}0 = 0 \ → \ \text{모순} $$

       따라서 주어진 집합은 linearly independent set이다.

 

 

 

 

이제 선형 종속/독립 관계에 대한 간단한 명제를 증명해보자.

 

Prop \(S \subset V\) is linearly dependent \(\iff ∃ u \in S\) which is a linear combination of the other vectors in \(S\).

 

pf) (\(\Rightarrow\))  \(\sum_{i=1}^n a_iu_i = 0 \quad \mathrm{WLOG} \quad a_1 ≠ 0 \ \Rightarrow \ a_1^{-1}\left(a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n\right) = a_1^{-1}0 = 0 \)

                                                                                                           \( u_1 = \left(-a_1^{-1}a_2\right)u_2 + \cdots + \left(-a_1^{-1}a_n\right)u_n \)

   

       (\(\Leftarrow\))  \( \mathrm{WLOG} \ \ u_1 = a_2u_2 + \cdots + a_nu_n \quad \Rightarrow \quad 1·u_1 + \left(-a_2\right)u_2 + \cdots + \left(-a_n\right)u_n = 0 \) 

                                                                              : nontrivial linear combination이 존재. → S is linearly dependent.        □

 

 

 

다음은 위 명제에 의한 따름정리이다.

 

Cor   If \(S\) is linearly dependent, \( ∃\ u \in S\) such that span(\(S\)) = span(\(S -\left\{u\right\}\))

 

pf) (⊃ 증명) \(\Rightarrow\)  trivial

     (⊂ 증명) \(\Rightarrow \ \ u = \sum_{i=1}^n a_iu_i, \ u_i \in S - \left\{u\right\}\)

                           \(\forall x \in \mathrm{span} \left(S\right), \ x = au + \sum_{j=1}^m b_jv_j \quad v_j \in S - \left\{u\right\}, b_j \in F \)

                                                   \(x\) ∈ span(\(S - \left\{u\right\}\))

                      따라서 span(\(S\)) ⊂ span(\(S - \left\{u\right\}\)).                                                   □

 

 

 

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다음은 linear dependence의 정의로부터 나오는 (어찌보면 당연한) 중요한 정리이다. 

\(\mathbf{Theorem \ 1.6.}\) \(S_1 \subset S_2 \subset V\) subsets
     (1) \(S_1\) is linearly dependent    \(\Rightarrow \ \ S_2\) is linearly dependent.
     (2) \(S_2\) is linearly independent   \(\Rightarrow \ \ S_1\) is linearly independent.

 

pf) (1)  \(\sum a_iu_i = 0 \quad a_i: \) not all zero,   \(u_i \in S_1 \subset S_2 \ \ \Rightarrow \ \ S_2\) is linearly dependent.

      (2) \(\iff\) (1) 대우 이므로 증명 끝

 

 

 

\(\mathbf{Theorem \ 1.7.}\) \(S \subset V\) linearly independent,  \(v \notin S\)
          Then, \(S \cup \left\{v\right\} \) is linearly independent \( \iff \ v \notin \mathrm{span}\left(S\right)\).

 

pf) (\(\Rightarrow\))  if \(v \in \mathrm{span}\left(S\right) \ \Rightarrow \ v = \sum_{i=1}^n a_iu_i \quad u_i \in S \Rightarrow S \cup \left\{v\right\}\) is linearly dependent.

 

       앞서 살펴본 proposition에 의해 위 결과가 나오며 이는 가정에 모순.

 

       (\(\Leftarrow\)) \(av + \sum_{i=1}^n a_iu_i = 0 \ \ u_i \in S\)

                        if \(a = 0 \quad \Rightarrow \quad a_i\)는 자명해 뿐임

                        if \(a ≠ 0 \quad \Rightarrow \quad  v+\sum_{i=1}^n \left(a^{-1}a_i\right)u_i = 0 \quad \Rightarrow \quad v = - \sum\left(a^{-1}a_i\right)u_i \in \mathrm{span}\left(S\right))\) : 모순              □