2.Subspaces [Chap 1.3]

subspace란 어떤 vector space의 부분집합이자 그 자체로 vector space인 집합을 의미한다. 정의는 다음과 같다.

 

\(\mathbf{Definition.}\) A subset \(W\) of a vector space \(V\) over a field \(F\) is called a subspace of \(V\).

    if. \(\quad\begin{matrix} \forall x,y \in W & → & x+y \in W \\ a \in F & → & ax \in W \end{matrix} \)

 

이때 vector space \(V\)에 대해 \(V, \left\{0\right\}\) 는 trivial(자명한) subspaces임을 알 수 있다.

 

 

subspace의 예시를 들기 앞서 전치행렬과 대칭행렬의 정의를 언급하고 가자.

 

\(\mathbf{Definition.}\) The transpose of an m×n matrix \(A\) is an n×m matrix \(A^t\) defined by \(\left(A^t\right)_{ij} = A_{ji} \quad \forall i,j \)

\(\mathbf{Definition.}\) An n×n matrix \(A\) is symmetric if \(A^t = A \)×

 

Ex  \(V = M_{n×n}\left(F\right)\)에 대해 \(W = \left\{ \ A \in M_{n×n}\left(F\right) \ | \ A^t = A \ \right \} \) 는 subspace 이다.

 

       pf) \(W\)가 \(V\)의 subset임은 자명.

           \(A, B \in W \Rightarrow \left(A + B\right)^t = A^t + B^t = A + B \in W \)

           \(c \in F \Rightarrow \left(cF\right)^t = cA^t = cA \in W  \qquad \qquad \qquad \qquad □ \)

 

 

또한, subspace는 다음 정리를 만족한다.

\(\mathbf{Theorem \ 1.4.}\) (1) Any intersection of subspaces of a vector space \(V\) is a subspace of \(V\).
                         (2) \(W_1, W_2\) : subspaces of \(V\)
                                                   \(\Rightarrow \)  \(W_1 + W_2 = \left\{ x+y \ | \ x \in W_1, y \in W_2 \right\} \) is subspace of \(V\).

 

       pf) (1) \(\left\langle W_i \right\rangle\) : subspaces of \(V\), \(x,y \in ∩W_i \)

                                                         \(\Rightarrow \quad \begin{matrix} x,y \in W_i & \Rightarrow & x+y \in ∩W_i \\ cx \in W_i & \Rightarrow & cx \in ∩W_i \end{matrix} \)

                (2) \(x + y, x'+y' \in W_1 + W_2 \)

                                           \(\Rightarrow \quad \begin{matrix} \left(x+y\right) + \left(x'+y'\right) = \left(x+x'\right) + \left(y+y'\right) \in W_1+W_2 \\ c\left(x + y\right) = cx + cy \in W_1 + W_2 \end{matrix} \)