1. What is Vector Space? [Chap 1.1 ~ 1.2]

vector space(벡터 공간)이 무엇인가를 생각하기에 앞서 우리는 vector를 이미 배운 적이 있다. 

 

그동안 배운 vector는 크기와 방향을 갖는 물리량이었다. (물론 이는 적절한 정의라고 할 수는 없다. 크기와 방향이라는 것이 무엇인지 추가적인 정의가 필요하기에... 그치만 일단 받아들이고 넘어가자.)

 

벡터에 대해서는 다음 두 가지의 연산이 정의된다. 

(a)벡터 합 연산, (b)상수배 연산

이제 벡터의 정의와 두 연산을 통해 벡터는 다음 성질들을 가짐을 알 수 있다.

 

1. \( x+y = y+x \)
2. \( (x+y)+z = x+(y+z) \)
3. \( ∃\ O = (0, 0) \quad \mathrm{such} \ \mathrm{that} \quad O+x = x = x+O \quad\forall x \)
4. \( ∃\ y \quad \mathrm{such} \ \mathrm{that} \quad x+y = O \quad\forall x\)
5. \(1\cdot x = x \quad \forall x \)
6. \((ab)x = a(bx)\)
7. \(a(x+y) = ax + ay  \)
8. \((a+b)x = ax + ay\)

맨 처음에 언급한 벡터의 정의(벡터 = 크기 + 방향)는 다소 아쉬운 부분이 있었다. 그렇기에 위 7가지 성질을 만족하는 것들을 추상화해 벡터라 하고 이것들(vectors)가 이루는 공간을 vector space라 할 수 있을 것이다.

 

---

 

앞서 우리는 대중적으로 사용되는 벡터가 갖는 성질로부터 vector space를 이끌어내었다. 

이번에는 일반적으로 vector space를 정의해보도록 하자. 

 

vector space를 이야기 하려면 우선 scalar를 골라야 한다. 이때 이 scalar는 field(체)라는 구조의 집합에서 고른다. Field \(F\)란 사칙연산이 정의되고 사친연산에 대해 닫혀있으며, 덧셈과 곱셈에 대한 교환/결합/분배 법칙이 성립하고 항등원과 역원이 존재하는 집합을 뜻한다. Field의 예로는 \(\mathbb{Q}\)(유리수), \(\mathbb{R}\)(실수), \(\mathbb{C}\)(복소수) 등이 있다.

 

\(\mathbf{Definition.}\) A vector sace \(V\) over a field \(F\) consists of a set \(V\) togethers with maps:
\(\qquad\qquad\) addition \(\qquad\qquad\quad\;\;\, +: V×V → V \quad (x, y)\longmapsto x+y \)
\(\qquad\qquad\) scalar multiplication \(\quad ·: F×V →V \quad (a, x)\longmapsto a·x=ax\)

such that the following conditions hold.
(VS 1) \(x+y = y+x \quad \forall x,y\in V\)
(VS 2) \((x+y)+z = x+(y+z) \quad \forall x,y,z\in V\)
(VS 3) \(∃\ 0\in V\quad \mathrm{s.t} \quad 0+x = x = x+0 \quad\forall x \in V\)
(VS 4) \(\forall x \in V \quad \exists\ y \in V \mathrm{s.t} \quad x+y = 0 = y+x \)
(VS 5) \(1·x = x \quad \forall x \in V\)
(VS 6) \((ab)x = a(bx) \quad \forall a,b \in F, \; \forall x \in V\)
(VS 7) \(a(x+y) = ax + ay \quad \forall a \in F, \; \forall x,y \in V\)
(VS 8) \((a+b)x = ax + ay \quad \forall a,b \in F, \; \forall x \in V\)

 

이때 vector는 위 정의를 따르는 vector space의 원소이다. 
즉, vector들의 모임으로 vector space를 정의하는 것이 아닌 vector space를 먼저 정의한 후 vector space의 원소로 vector을 정의하는 것이다. 

 

vector space의 예시로 다음을 들 수 있다.

 

Ex 1  \(F^n = \left \{ (a_1, a_2, \cdots , a_n)\ | \ a_1, a_2, \cdots , a_n \in F\ \right \} \)

 

         addition : \( a+b = \left(a_1 + b_1 , a_2 + b_2, \cdots , a_n + b_n \right ) \)

         scalar mult. : \(t·a = t·\left(a_1, a_2, \cdots , a_n \right) = \left(ta_1, ta_2, \cdots , ta_n \right) \)

           \( 0 = \left(0, 0, \cdots , 0 \right) \)

 

 

Ex 2 \(M_{m×n} =\) { m×n matrices with entries in F } \(= M_{m×n}\left(F\right) \)

 

           \( A = \left(a_{ij}\right), B = \left(b_{ij}\right) \)

         addition : \( A + B = \left(a_{ij} + b_{ij}\right) \)

         scalar mult. : \(tA = \left(ta_{ij} \right) \)

           \( 0 = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \)

 

 

Ex 3 \( S ≠ \emptyset \ \mathrm{set}, \ F = \mathrm{field}, \ F^S = \mathcal{F}\left(S, F\right) = \) { all functions \(S → F \) }

 

         for \(f, g \in F^S \)

         addition : \( \left(f + g \right)\left( s \right) = \left(f\right)\left(s\right) + \left(g\right)\left(s\right) \in F \quad \forall s \in S, f+g \in F^S \)

         scalar mult. : \( \left(cf\right)\left( s \right) = c\left(f \right)\left( s \right) \quad \forall s \in S, cf \in F^S \)

           \( 0\left(s\right) = 0 \quad \forall s \in S \)

 

 

Ex 4 A polynomial with coefficients in \(F\) is an expression
              \(f\left(x\right) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n + \cdots, \quad a_0, a_1, \cdots, a_n, \cdots \in F\)

        then, \(P\left(F\right) = \) { all polynomials with coeff. in F } is vector space.

 

         addition : \(f + g = \sum_i {a_i x^i} + \sum_i {b_i x^i} = \sum_i {\left(a_i + b_i \right) x^i} \)

         scalar mult. : \(c \sum_i { a_i x^i} = \sum_i {\left(ca_i\right) x^i} \)

           \( 0 = 0 + 0x + 0x^2 + \cdots + 0x^n + \cdots \)

 

 

Ex 5 \(F\) = field, \(V\) = { all sequences in \(F\) } = \(F^{\mathbb{N}}\)

 

Ex 6 \(\left \{ f: \left [0,1] \right] → \mathbb{R} \ | \ \mathrm{continuous} \ \right \} \)

 

 

각각의 예시에 대해 (VS 1) ~ (VS 8)의 조건을 모두 만족하는지를 확인하면 vector space임을 보일 수 있다.

 

 

---

위 vector space의 정의로부터 사칙 연산에서 자연스럽게 사용하던 소거 법칙 및 상수배 연산 등을 vector space에 대해서도 사용할 수 있음을 보일 수 있다. 

 

\(\mathbf{Theorem \ 1.1. (Cancellation Law)}\) If \(x, y \ \mathrm{and} \ z\) are vectors in a vector space \(V \quad \mathrm{s.t} \quad x+z = y+z \implies x=y \)

 

pf) \(∃ \ u \in V \quad u + z = 0 \) 이라 하자 (∵역원이 존재)

     이때 vector space 공리에 의해 다음 식이 성립.

      \(y = 0 + y = \left( u + z \right) + y = u + \left( z + y \right) = u + \left(z + x  \right) = \left(u + z \right) + x = 0 + x =  x \quad \)  □

 

Cor.  The vector 0 described in (VS 3) is unique.

 

 

\(\mathbf{Theorem \ 1.2.}\) In any vector space \(V\), the followings are true:
    (a) \(0·x = 0 \quad \forall x \in V\)
    (b) \(\left(-a \right)·x = -\left(ax\right) = a\left(-x\right) \quad \forall a \in F, x \in V \)
    (c) \(a·0 = 0 \quad \forall a \in F\)

 

pf) (a) \(0·x + 0·x = \left(0 + 0 \right)x = 0·x = 0·x + 0 \implies 0·x = 0 \)

     (b) \(\left(-a\right)·x + a·x = \left(\left(-a\right) + a\right) x = 0·x = 0 \)

              \(a\left(-x\right) + ax = a\left(\left(-x\right) + x \right) = a·0 \)

         \(\implies \left(-a\right)·x = -\left(ax\right) = a\left(-x\right) \)

     (c) \(a·0 + a·0 = a\left(0 + 0\right) = a·0 = a·0 + 0 \implies a·0 = 0\)